Ho creato una piccola risorsa per lo studio delle linee di trasmissione: questo widget di WolframAlpha restituisce la costante di propagazione di una linea di trasmissione:
Il calcolo diventa difficile perché si tratta di fare la radice quadrata di un numero complesso, operazione poco nota e che, comunque, richiede molto tempo con probabilità elevata di fare banali errori di calcolo. La dedico a tutti gli studenti di telecomunicazioni come aiuto per la verifica degli esercizi.
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Fare la radice n-esima di un numero complesso è semplicissimo. Basta fare la radice n-esima in campo reale del modulo e dividere per n l’argomento, considerando molteplicità n (ovvero, chiamati A e b modulo e argomento del numero complesso di cui si vuole fare la radice, si devono accettare come soluzioni non i n umeri complessi che hanno la radice n-esima di A come modulo e b/n come argomento, ma anche quelli con radice n-esima di A come modulo e b/n + 2pi k/n come argomento, con k che prende tutti gli interi fino a n-1).
La radici ennesimi di A*Exp[jb] sono quindi A^(1/n)Exp[j(b/n+2pi k/n)], con k=0,1,…n-1.
Nel caso della radice quadrata si hanno le soluzioni
A^(1/2)Exp[jb/2] e A^(1/2)Exp[j(b/2+pi)]=-A^(1/2)Exp[j(b/2] (le due soluzioni sono differiscono solo per il segno, come nel caso reale).
La tastiere mi ha mangiato qualche battuta. Volevo scrivere “non solo il numero complesso che ha….ma anche….”
Grazie Flavio! Tra l’altro mi hai consentito di accorgermi che il widget non era più visualizzato! Adesso funziona di nuovo 🙂